Factorise by completing the squares.
(i) a4 + a2 + 1
(ii) y4 + 5y2 + 9
(iii) x4 + 4
(iv) x4 + 4x2 + 3
(i) a4 + a2 + 1
= a4 + a2 + 1 + a2 - a2
= a4 + 2a2 + 1 - a2
= (a2)2 + 2a2 + 1 - a2
= (a2 + 1)2 - a2
= (a2 + 1 + a) (a2 + 1 - a)
= (a2 + a + 1) (a2 - a + 1)
(ii) y4 + 5y2 + 9
= (y2)2 + 5y2 + (3)2 + y2 - y2
= (y2)2 + 6y2 + (3)2 - y2
= (y2 + 3)2 - y2
= (y2 + y + 3) (y2 - y + 3)
(iii) x4 + 4
= x4 + 4 + 4x2 - 4x2
= (x2)2 + (2)2 + (2x)2 - 4x2
= (x2 + 2)2 - (2x)2
= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
(iv) x4 + 4x2 + 3
= x4 + 4x2 + 4 - 1
= x4 + 4x2 + 3 + 1 - 1
= (x2)2 + 2 × 2x2 + (2)2 - 1
= (x2 + 2)2 - 1
= (x2 + 2 + 1) (x2 + 2 - 1) = (x2 + 3) (x2 + 1)