Prove that: cos 5A = 16 cos⁵ A – 20 cos³ A + 5 cos A.

Formula: - (i) sin²A + cos²A = 1

(ii) cos2A = 2cos² A – 1

(ii) cos3A = 4cos³ A – 3cosA

(iii) sin3A = 3sinA – 4sin³ A

taking L.H.S

Cos(5A) = cos(3A + 2A)

⇒ Cos5A = cos3Acos2A – sin3Asin2A

using formula (iii) and (ii)

⇒ Cos5A = (4cos³ A – 3cosA)(2cos² A – 1) – (3sinA – 4sin² A)(2sinAcosA)

⇒ Cos5A = (4cos³ A – 3cosA)(2cos² A – 1) – (3 – 4 sin² A) (2sin² A cos A)

⇒ Cos5A = (4cos³ A – 3cosA)(2cos² A – 1) – (3 – 4(1 – cos² A)) 2 (1 – cos² A) cosA

⇒ Cos5A = (8 cos⁵ A – 10 cos³ A + 3 cosA) – 2 cosA(1 – cos² A)(4cos² A – 1)

⇒ Cos5A = (8cos⁵ A – 10cos³ A + 3cosA) – 2cosA (5cos² A – 4cos⁴ A – 1)

⇒ Cos5A = (8cos⁵ A – 10cos³ A + 3cosA) – 2cosA(1 – cos² A)(4cos² A – 1)

⇒ cos5A = 16cos⁵ A – 20cos³ A + 5cos A

L.H.S = R.H.S

Hence, PROVED