Prove that:
cos2A + cos2B – 2 cosA cosB cos(A +B) = sin2(A +B)
LHS = cos2A + cos2B – 2 cosA cosB cos(A +B)
= cos2A + 1 – sin2B - 2 cosA cosB cos(A +B)
= 1 + cos2A – sin2B - 2 cosA cosB cos(A +B)
We know that cos2A – sin2B = cos(A +B) cos(A –B)
= 1 + cos(A +B) cos(A –B) - 2 cosA cosB cos(A +B)
= 1 + cos(A +B) [cos(A –B) – 2 cosA cosB]
We know that cos(A -B) = cosA cosB + sinA sinB.
= 1 + cos(A +B) [cosA cosB + sinA sinB – 2 cosA cosB]
= 1 + cos(A +B) [-cosA cosB + sinA sinB]
= 1 - cos(A +B) [cosA cosB - sinA sinB]
We know that cos(A +B) = cosA cosB - sinA sinB.
= 1 – cos2(A +B)
= sin2(A +B) = RHS
Hence proved.