Factorise x⁴ + 4y⁴. Use this to prove that 2011⁴ + 64 is a composite number.

⇒ x⁴ + 4y⁴

⇒ (x²)² + (2y²)²

⇒ (x² + 2y²)² - 2× x² × 2y²

⇒ (x² + 2y²)² - 4x²y²

⇒ (x² + 2y²)² – (2xy)²

⇒ (x² + 2y² + 2xy)(x² + 2y² – 2xy)

Now we get,

⇒ 2011⁴ + 64

⇒ 2011⁴ + 4 × 2⁴

⇒ (2011²)² + (2×2²)²

⇒ (2011² + 4²)² - 2× 2011² × 2 × 2²

⇒ (2011² + 4²)² – 4 × 2011² × 2²

⇒ (2011² + 4²)² – (2×2011×2)²
()

⇒ (2011² + 4² + 2×2011×2)(2011² + 4² – 2×2011×2)

⇒ (4044121 + 16 + 8044)(4044121 + 16 – 8044)

⇒ 4052181 × 4036093