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If for complex numbers z1 and z2, arg (z1) – arg (z2) = 0, then show that |z1 – z2| = |z1| – |z2|.

Let z1 = |z1| (cos θ1 + I sin θ1) and z2 = |z2| (cos θ2 + I sin θ2)


Given arg (z1) - arg (z2) = 0


⇒ θ1 - θ2 = 0


⇒ θ1 = θ2


Now, z2 = |z2| (cos θ1 + I sin θ1)


⇒ z1 – z2 = ((|z1|cos θ1 - |z2| cos θ1) + i (|z1| sin θ1 - |z2| sin θ1))





We know that cos2 θ + sin2 θ = 1




∴ |z1 – z2| = |z1| - |z2|


Hence proved.


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