Find 8x³ + 27y³ if 2x + 3y = 13 and xy = 6.

Given 2x + 3y = 13

⇒ (2x + 3y)³ = 13³

Here the identity used is

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(2x + 3y)³ = (2x)³ + 3(2x)²3y + 3(2x)(3y)² + (3y)³

⇒ 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ = 2197

⇒ 8x³ + 27y³ + 18xy(2x + 3y) = 2197

⇒ 8x³ + 27y³ = 2197 – 108 (2x + 3y) (∵ xy = 6 given)

⇒ 8x³ + 27y³ = 2197 – 108 × 13

⇒ 8x³ + 27y³ = 2197 – 1404

⇒ 8x³ + 27y³ = 793