Simplify (1 – cosθ) (1 + cosθ) (1 + cot²θ)

We have

(1 – cos θ)(1 + cos θ)(1 + cot² θ) = [(1 – cos θ)(1 + cos θ)](1 + cot² θ)

⇒ (1 – cos θ)(1 + cos θ)(1 + cot² θ) = (1 – cos² θ)(1 + cot² θ) [∵, (a + b)(a – b) = a² – b²]

⇒ (1 – cos θ)(1 + cos θ)(1 + cot² θ) = sin² θ × (1 + cos² θ/sin² θ) [∵, (1 – cos² θ) = sin² θ & cot² θ = cos² θ/sin² θ]

⇒ (1 – cos θ)(1 + cos θ)(1 + cot² θ) = sin² θ × (sin² θ + cos² θ)/sin² θ

⇒ (1 – cos θ)(1 + cos θ)(1 + cot² θ) = sin² θ + cos² θ

⇒ (1 – cos θ)(1 + cos θ)(1 + cot² θ) = 1 [∵, sin² θ + cos² θ = 1]

Thus, (1 – cos θ)(1 + cos θ)(1 + cot² θ) = 1.