If cosesθ + cotθ = k then prove that

Given that, cosec θ + cot θ = k

⇒ [∵, cosec θ = 1/sin θ & cot θ = cos θ/sin θ]

⇒ (1 + cos θ)/sin θ = k

⇒ 1 + cos θ = k sin θ

Squaring both sides, we get

(1 + cos θ)² = (k sin θ)²

⇒ (1 + cos θ)² = k² sin² θ

⇒ (1 + cos θ)² = k² (1 – cos² θ) [∵, sin² θ + cos² θ = 1 ⇒ sin² θ = 1 – cos² θ]

⇒ (1 + cos θ)² = k² (1 – cos θ) (1 + cos θ) [∵, a² – b² = (a + b) (a – b)]

⇒ 1 + cos θ = k² (1 – cos θ)

⇒ 1 + cos θ = k² – k² cos θ

⇒ k² cos θ + cos θ = k² – 1

⇒ cos θ (k² + 1) = k² – 1

⇒ cos θ = (k² – 1)/(k² + 1)

Thus, cos θ = (k² – 1)/(k² + 1).

Hence, proved.