Find the angle to intersection of the following curves :

2y² = x³ and y² = 32x

Given:

Curves 2y² = x³ ...(1)

& y² = 32x ...(2)

First curve is 2y² = x³

Differentiating above w.r.t x,

⇒ 4y. = 3x²

⇒ m₁ ...(3)

Second curve is y² = 32x

⇒ 2y. = 32

⇒ y. = 16

⇒ m₂ ...(4)

Substituting (2) in (1),we get

⇒ 2y² = x³

⇒ 2(32x) = x³

⇒ 64x = x³

⇒ x³ – 64x = 0

⇒ x(x² – 64) = 0

⇒ x = 0 & (x² – 64) = 0

⇒ x = 0 & ±8

Substituting x = 0 & x = ±8 in (1) in (2),

y² = 32x

when x = 0,y = 0

when x = 8

⇒ y² = 32×8

⇒ y² = 256

⇒ y = ±16

Substituting above values for m₁ & m_2,we get,

when x = 0,y = 16

m₁

⇒ 0

when x = 8,y = 16

m₁

⇒ 3

Values of m₁ is 0 & 3

when x = 0,y = 0,

m₂

⇒ ∞

when y = 16,

m₂

⇒ 1

Values of m₂ is ∞ & 1

when m₁ = 0 & m₂ = ∞

⇒ tanθ

⇒ tanθ

⇒ tanθ = ∞

⇒ θ = tan ^{– 1}(∞)

∴ tan ^{– 1}(∞)

⇒ θ

when m₁ & m₂ = 2

⇒ tanθ

⇒ tanθ

⇒ tanθ

⇒ θ = tan ^{– 1}()

⇒ θ≅25.516