Find the angle to intersection of the following curves :

x² = 27y and y² = 8x

Given:

Curves x² = 27y ...(1)

& y² = 8x ...(2)

Solving (1) & (2),we get,

From y² = 8x,we get,

⇒ x

Substituting x on x² = 27y ,

⇒ ()² = 27y

⇒ () = 27y

⇒ y⁴ = 1728y

⇒ y(y³ – 1728) = 0

⇒ y = 0 or (y³ – 1728) = 0

⇒ y = 0 or y

∴

⇒ y = 0 or y = 12

Substituting y = 0 or y = 12 on x

when y = 0,

⇒ x

⇒ x = 0

when y = 12,

⇒ x

⇒ x = 18

∴ The point of intersection of two curves (0,0) & (18,12)

First curve is x² = 27y

Differentiating above w.r.t x,

⇒ 2x= 27.

⇒

⇒ m₁ ...(3)

Second curve is y² = 8x

⇒ 2y. = 8

⇒ y. = 4

⇒ m₂ ...(4)

Substituting (18,12) for m₁ & m_2,we get,

m₁

⇒

m₁ ...(5)

m₂

⇒

m₂ ...(6)

when m₁ & m₂

⇒ tanθ

⇒ tanθ

⇒ tanθ

⇒ tanθ

⇒ θ = tan ^{– 1}()

⇒ θ≅34.69