If 4 cos θ + 3 sin θ = 5, find the value of tan θ.

Given : 4 cos θ+ 3 sin θ = 5

Squaring both the sides, we get

⇒ (4 cos θ+ 3 sin θ)² = 25

⇒ 16 cos² θ + 9 sin² θ + 2(4cos θ)(3sin θ)= 25 [∵ (a + b)² =a² +b² +2ab]

⇒ 16 cos² θ + 9 sin² θ + 24 cosθ sinθ = 25

Divide by cos² θ, we get

⇒ 16 + 9tan² θ + 24 tanθ = 25sec² θ

⇒ 16 + 9tan² θ + 24 tanθ = 25(1 + tan² θ) [∵ 1+ tan²θ = sec² θ]

⇒ 16 + 9tan² θ + 24 tanθ = 25+ 25 tan² θ

⇒ 16tan² θ – 24tanθ + 9 = 0

⇒ 16tan² θ – 12 tanθ – 12 tanθ +9 = 0

⇒ 4tanθ (4tan θ – 3) – 3(4tan θ – 3) = 0

⇒ (4tan θ – 3)² = 0