If 7 sin A + 24 cos A = 25, find the value of tan A.

Given : 7 sin A + 24 cos A = 25

Squaring both the sides, we get

⇒ (7 sin A + 24 cos A)² = 625

⇒ 49 sin² A +576 cos² A + 2(7sin A) (24cos A) = 625 [∵ (a + b)² =a² +b² +2ab]

⇒ 49 sin² A +576 cos² A + 336 cosA sinA = 625

Divide by cos² θ, we get

⇒ 49tan² A +576+ 336 tanA = 625sec² A

⇒ 49tan² A +576+ 336 tanA = 625(1 + tan² A) [∵ 1+ tan²θ = sec² θ]

⇒ 49tan² A +576+ 336 tanθA = 625+625 tan² A

⇒ 576tan² A – 336tanA + 49 = 0

⇒ 576tan² A – 168 tanA – 168 tanA +49 = 0

⇒ 24tanθ (24tan A – 7) – 7(24tan A – 7) = 0

⇒ (24tan A – 7)² = 0